Floating Point Number

Floating Point Number

เนื่องจากการแปลงจำนวนจริงฐานสิบเป็นจำนวนจริงฐานสองส่วนใหญ่ให้ผลลัพธเป็นจำนวนจริงฐานสองที่มีตัวเลขหลังจุดทวินิยมไม่รู้จบ การตัดสินใจว่าจะใช้จำนวนตัวเลขหลังจุดทวินิยมเป็นจำนวนกี่หลัก ขึ้นอยู่กับความแม่นยำของค่าที่ต้องการคำนวณ ซึ่งมีความแตกต่างกันออกไปในแต่ละงาน ดังนั้นในกรณีที่เป็นจำนวนจริงไม่รู้จบ ผู้ใช้จึงควรเป็นผู้กำหนดความแม่นยำตามต้องการ

            การจัดเก็บจำนวนจริงฐานสองรูปแบบที่เหมาะสมกับการทำงานของระบบคอมพิวเตอร์เป็นเลขฐานสองในระบบ Floating Point Number ซึ่งมีความต้องการดังนี้

            - เก็บค่าของจำนวนจริงให้ได้ความแม่นยำมากที่สุด

            - ใช้จำนวนบิตให้น้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

ความยากของปัญหานี้อยู่ที่การใช้จำนวนบิตที่น้อยที่สุด การแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดคือการเลียนแบบตัวเลขแบบวิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) ซึ่งออกแบบมาสำหรับใช้แสดงค่าจำนวนจริงฐานสิบที่มีค่าสูงมากและต่ำมาก เช่น ความเร็วของแสงมีค่าเป็น 300,000,000 เมตร/วินาที หรือ 3.0 ´ 10⁸  อนุภาคของฝุ่นมีมวล 0.000 000 000 753 กิโลกรัม หรือ 7.53 ´ 10^-10 เป็นต้น

จำนวนจริง 123,000,000,000 เขียนเป็นตัวเลขแบบวิทยาศาสตร์ได้เป็น

            1.23 ´ 10¹¹        

ค่า 1.23 เรียกว่า สัมประสิทธิ์ (coefficient) ซึ่งกำหนดให้มีค่า 1 £ c < 10 ส่วน 10¹¹ นั้น 10 เป็นฐานของตัวเลข (base หรือ radix) และ 11 เป็นกำลัง (power หรือ exponent) รูปแบบตามข้อกำหนดนี้เรียกว่า Normal Form

            ในระบบคอมพิวเตอร์มีระบบสำหรับแสดงผลตัวเลขแบบวิทยาศาสตร์ เช่น 123,000,000,000 แสดงผลเป็น 1.23E+11 (1.23 ´ 10¹¹) และ 0.000001 แสดงผลเป็น 1.0E-6 (1.0 ´ 10^-6)           

           

จำนวนจริงฐานสอง เช่น 11.00101₂ เขียนในลักษณะเดียวกับตัวเลขแบบวิทยาศาสตร์ และกำหนดให้มีรูปมาตรฐาน (Normal form) คือ จำนวนเต็มหน้าจุดทวินิยมต้องมีค่าเป็น 0 และจำนวนเต็มตัวเลขหลังจุดทวินิยมต้องมีค่าเป็น 1 เช่น

11.00101₂ = 0.1100101 ´ 2²

            0.000101₂ = 0.101 ´ 2^-2

เนื่องจากฐานมีค่าเป็น 2 เสมอ ดังนั้นข้อมูลที่จำเป็นต้องเก็บไว้ จึงมีเฉพาะ 0.1100101 ซึ่งกำหนดให้เรียกว่า significand และ 2 ซึ่งเป็นกำลัง (exponent) เท่านั้น และเนื่องด้วยจำนวนจริงมีทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ จึงต้องเก็บเครื่องหมายของจำนวนโดยใช้บิตเครื่องหมาย (sign bit) จำนวน 1 บิต และกำหนดให้ค่าของบิตที่เป็น 0 แทนจำนวนบวก และค่าของบิตที่เป็น 1 แทนจำนวนลบ นอกจากนี้แล้ว “กำลัง” เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าไม่มากนัก และเป็นได้ทั้งจำนวนลบและบวก และการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขยกกำลังต้องมีการปรับกำลัง และในการเปรียบเทียบค่าต้องมีการเปรียบเทียบกำลังด้วย จำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายในระบบ 2’s complement ไม่เหมาะสมสำหรับกรณีนี้ จึงต้องมีวิธีในการแทนจำนวนเต็มชนิดมีเครื่องหมายของกำลังที่เหมาะสม ระบบนี้เรียกว่าระบบเกิน n (Excess–n Notation)

จำนวนเต็มที่ใช้แทนกำลังในระบบ Excess–n Notation

            ระบบ Excess-n (ระบบที่มีค่าเกิน n) เป็นระบบเลขฐานสองที่ใช้แทนจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายเพื่อความสะดวกในการเปรียบเทียบค่าและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมาย ดังนั้นจึงต้องรู้จำนวนบิตที่ใช้ในการแทนค่า เพื่อจะได้สามารถคำนวณพิสัยของค่าที่สามารถทำการแปลงได้ เช่น หากกำหนดให้จำนวนบิตที่ใช้แทนค่าเป็น 3 บิต (m = 3) พิสัยของค่าคำนวณได้จากสูตร -2^m-1 à 2^m-1, หรือ -2² à 2² – 1 = -4 à 3

            พิสัยของค่าซึ่งมีทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ การเปรียบเทียบที่ทำได้สะดวกคือการนำค่าของ bit pattern มาเปรียบเทียบกันในลักษณะเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีเครื่องหมาย ซึ่งทำได้โดยการยกระดับค่าของตัวเลขขึ้นเพื่อตั้งจุดการทำงานของตัวเลขยกกำลังใหม่ ตัวเลขยกกำลังในระบบนี้จึงมีชื่อเรียกว่า bias exponent

            จำนวนเต็มที่ใช้ยกระดับการค่าของกำลังให้เป็นจำนวนบวกทั้งหมดเรียกว่า n ซึ่งหากกำหนดให้จำนวนบิตที่ใช้แทนกำลัง = m บิต สามารถคำนวณค่า n ได้จากสูตร n = 2^m-1 และในกรณีที่ใช้จำนวนบิตแทนค่า 3 บิต, n มีค่าเป็น 4 ระบบเลขฐานสองที่ใช้แทน เรียกว่า Excess - 4 หรือระบบเกิน 4 ซึ่งมีความ สัมพันธ์เป็นไปตามตารางดังนี้

              จำนวนเต็ม                      จำนวนเต็มที่มีการ                          เลขฐานสองแทนกำลัง

            ที่ใช้แทนกำลัง                 กำหนดจุดทำงานใหม่                    ที่ตั้งจุดการทำงานใหม่แล้ว

              (exponent)                            (bias)                                     (bias exponent)

            ----------------                ------------------------                  ------------------------------

                    3                                3 + 4 = 7                                        1 1 1

                    2                                2 + 4 = 6                                        1 1 0

                    1                                1 + 4 = 5                                        1 0 1

                    0                                0 + 4 = 4                                        1 0 0

                   -1                               -1 + 4 = 3                                        0 1 1

                   -2                               -2 + 4 = 2                                        0 1 0

                   -3                               -3 + 4 = 1                                        0 0 1

                   -4                               -4 + 4 = 0                                        0 0 0

            ----------------                ------------------------                  ------------------------------

                                                                                                เลขฐานสองขนาด 3 บิต    

                                                                                                ในระบบ Excess - 4

รูปแบบของ Floating Point Number

จำนวนจริงตามมาตรฐาน IEEE 754 - Floating Point Number กำหนดให้มีการจัดเก็บข้อมูล 3 ส่วน เครื่องหมายของจำนวน 1 บิต โดย 0 แทนจำนวนบวก และ 1 แทนจำนวนลบ, กำลัง (exponent) เป็นจำนวนเต็มในระบบ Excess-n หรือ bias exponent, และ สัมประสิทธิ์ โดยเก็บเฉพาะตัวเลขหลังจุด เรียกว่า significand และกำหนดจำนวนบิตที่ใช้ในการจัดเก็บแต่ละส่วนดังนี้

            ชนิด                       Sign bit             Bias exponent            Significand

Single precision  (32 บิต)           1            8                          23                

Double precision (64 บิต)         1                        11                         52                 

ระบบเลขฐานสองที่ใช้แทนกำลังใน Single precision (float ในภาษา C) เป็น Excess-128 และ ระบบเลขฐานสองที่ใช้แทนกำลังใน Double precision (double ในภาษา C) เป็น Excess-1024

เนื่องจากระบบเลขฐานสองที่ใช้แทนจำนวนจริงมีจำนวนบิตมาก ทำให้ยากต่อการทำความเข้าใจ ดังนั้นจึงมีการกำหนดรูปแบบที่ง่ายสำหรับการเรียนการสอน เรียกว่า Microfloat ซึ่งมีขนาดเพียง 8 บิต และมีรูปแบบดังนี้

บิตที่      จำนวน       ความหมาย

-------    -------       --------------------------------------

   7           1           บิตเครื่องหมาย

6 – 4         3           bias exponent ในระบบ excess-4

3 – 0         4           significand

การแปลงจำนวนจริงฐานสิบเป็นเลขฐานสองในระบบ Microfloat

ขั้นตอนวิธี   การแปลงจำนวนจริง(ฐานสิบ) เป็นเลขฐานสองในระบบ Microfloat

ข้อมูลเข้า    จำนวนจริงฐานสิบ

ข้อมูลออก  เลขฐานสองในระบบ Microfloat ขนาด 8 บิต

begin

            เตรียมข้อมูล 1 ไบต์ สำหรับเก็บเลขฐานศองในระบบ Microfloat

            if  จำนวนจริงฐานสิบ < 0.0  then

                        บิตเครื่องหมาย = 0

            else

                        บิตเครื่องหมาย = 1

            end

เก็บบิตเครื่องหมายในบิตที่ 7

แปลงจำนวนจริงฐานสิบเป็นจำนวนจริงฐานสอง

            ทำให้จำนวนจริงฐานสองอยู่ในรูป Normal Form

            แปลงกำลังเป็นเลขฐานสองในระบบ Excess-4 เก็บในบิตที่ 6 - 4

            นำตัวเลขหลังจุดทวินิยม 4 หลักมาใช้เป็น significand เก็บในบิตที่ 3 – 0

            คืนค่าเลขฐานสองในระบบ Microfloat ให้แก่ผู้เรียก

end

การแปลงเลขฐานสองในระบบ Microfloat เป็นจำนวนจริงฐานสิบ

ขั้นตอนวิธี   การแปลงเลขฐานสองในระบบ Microfloat เป็นจำนวนจริง(ฐานสิบ)

ข้อมูลเข้า    เลขฐานสองในระบบ Microfloat ขนาด 8 บิต

ข้อมูลออก  จำนวนจริงฐานสิบ

begin

            บิตเครื่องหมาย = บิตที่ 7 ของ Microfloat

            bias_exponent = บิตที่ 6 – 4  ของ Microfloat

            significand = บิตที่ 3 – 0 ของ Microfloat

            แปลง bias_exponent เป็น exponent

            เติมจุดทวินิยมหน้า significand

            จัด .significand x 2^exponent ให้อยู่ในรูปของจำนวนจริงฐานสองปกติ

            แปลงจำนวนจริงฐานสองเป็นจำนวนจริงฐานสิบ

            if  บิตเครื่องหมาย = 1  then

                        จำนวนจริง = จำนวนจริง x -1

            end

            คืนค่าจำนวนจริงฐานสิบให้แก่ผู้เรียก

end

ปัญหา - จงแปลง -0.024₁₀ เป็นเลขฐานสองในระบบ Microfloat

จำนวนจริงฐานสิบเป้นจำนวนลบ บิตเครื่องหมาย = 1

แปลง -0.24₁₀ เป็นจำนวนจริงฐานสอง » -0.000001₂

-0.000001₂ = -0.1 x 2^-5

เนื่องจากกำลัง (exponent) ที่คำนวณได้มีค่าเป็น -5 ซึ่งไม่อยู่ในพิสัยของ excess-4

ดังนั้น -0.024₁₀ จึงไม่สามารถจัดเก็บในระบบ Microfloat ได้